اعداد دسیمال، باینری، اوکتال و هگزادسیمال چیست؟

مقدمه

فلسفه وجودی اعداد به نیاز بشر برای شمارش برمی‌­گردد. اعداد در دنیای امروز بخشی جدانشدنی از زندگی روزمره‌­ی ما می­‌باشند. جالب است بدانید همین کلماتی که در حال خواندن آن­‌ها هستید به صورت کدهای صفر و یک بر‌روی کامپیوتر شما ثبت می‌شوند. اعداد دسیمال، باینری، اوکتال و هگزادسیمال همگی نمایش­‌های مختلف برای یک چیز یکسان می­‌باشند. وقتی از عددی مثل 68 صحبت می­‌کنیم، منظورمان یک مقدار عددی است که در مبنای ده (دسیمال) به صورت 68 نمایش داده می‌­شود. اما اگر همین عدد را بخواهیم در مبنای دو (باینری) نمایش دهیم، حاصل به‌صورت 1000100 می‌­شود و اگر همین عدد را در مبنای هشت (اوکتال) نمایش دهیم حاصل به صورت 104 بوده و در نهایت اگر همین عدد را در مبنای شانزده (هگزادسیمال) نمایش دهیم حاصل به صورت 44 خواهد شد.

اعداد دسیمال

ٌٌٌ اعداد در این مبنا دارای ۱۰ رقم معنی دار 0، 1، … 9 می‌­باشند. دلیل استفاده از علامت­‌های 0، 1،…9 برای این نه رقم معنی‌دار به تعداد شکستگی­‌ها (زوایا) در نمایش آن‌ها برمی‌گردد.

شکل۱: ارتباط زوایه با نحوه خواندن اعداد

در نمایش اعداد در مبنای ده، ارقام به ترتیب از سمت راست به چپ یکان، دهگان، صدگان و … نامیده می‌شوند که ارزش هر رقم را بیان می­‌کند. به عنوان مثال عدد 368 شامل سه بسته صدتایی، 6 بسته ده­‌تایی و 8 یکی می‌باشد.

اعداد باینری

اعداد را می‌­توان در هر مبنای دلخواهی نمایش داد اما مهم این است که آیا این نمایش در دنیای واقعی کاربرد دارد یا نه. اعداد دسیمال از اولین اعدادی بودند که به دلیل نیاز بشر به شمارش و گسترش ریاضیات اختراع شدند. با توسعه‌ی کامپیوتر و سیستم­ های دیجیتال اعداد در مبنای دو نیز مطرح شدند. دلیل استفاده از مبنای دو در سیستم­های دیجیتال به ساختار فیزیکی این سیستم­ها مربوط می‌­باشد. از آنجایی که قطعات دیجیتال از واحدهایی به‌نام ترانزیستور که ادواتی با دوحالت کاری می‌باشند تشکیل شده‌اند، بنابراین این دوحالت را می­‌توان با 0 و 1 نمایش داد، در این صورت استفاده از مبنای دو  انجام محاسبات در سیستم­‌های دیجیتال را امکان‌پذیر می‌کند.

تبدیل اعداد دسیمال به باینری

به عنوان مثال برای تبدیل عدد 368 در مبنای 10 به معادل آن در مبنای دو، یک الگوریتم تقسیمات متوالی بر 2 می‌باشد:

در تقسیمات متوالی فوق علامت // به معنای خارج قسمت و علامت rem به معنای باقیمانده می‌­باشد. به‌عنوان مثال:

rem=0   368//2=184 به این معنی می‌باشد که خارج قسمت تقسیم عدد 368 بر 2 برابر 184 و باقیمانده آن برابر 0  می‌­باشد.

حال اگر مقادیر باقیمانده را از پایین به بالا کنارهم بگذاریم معادل مبنای دو عدد 368 بدست می‌آید:

 یک روش دیگر که می‌­توان سریع‌تر از روش فوق عدد معادل در مبنای دو را بدست آورد به‌صورت زیر می‌­باشد:

روش فوق شاید در ابتدا سخت‌تر و کندتر از روش قبل باشد ولی پس از چندین بار تمرین به سادگی و سریع‌تر بودن آن پی خواهید برد.

اعداد اوکتال

اعداد اوکتال، اعدادی در مبنای هشت می­‌باشند. برای تبدیل اعداد دسیمال به اوکتال می‌­توان از روش تقسیمات متوالی بر هشت مشابه قسمت قبل استفاده کرد.

تبدیل اعداد باینری به اوکتال

فرض کنید می‌­خواهیم عدد 101110000 در مبنای دو را به معادل آن در مبنای هشت تبدیل کنیم. برای این منظور ارقام را از سمت راست سه تا سه تا جدا می‌کنیم و به‌جای هر سه تایی رقم معنی دار، آن در مبنای هشت را می‌گذاریم. برای این منظور از جدول زیر استفاده می ­کنیم:

جدول1: ارقام معنی دار در مبنای هشت

در نتیجه داریم:

دقت کنید در صورتی که عدد باینری دارای تعداد ارقامی باشد که مضربی از سه نباشند با اضافه کردن صفر در انتهای سمت چپ عدد باینری تعداد ارقام آن را مضربی از سه می­ کنیم.

اعداد هگزادسیمال

اعداد هگزادسیمال، اعدادی در مبنای شانزده  می ­باشند. اعداد در مبنای شانزده دارای 16 رقم معنی دارای 0,1,…9,A,B,C,D,E,F  می ­باشند. برای تبدیل اعداد دسیمال به هگزادسیمال می­ توان از روش تقسیمات متوالی بر شانزده مشابه قسمت­ های قبل استفاده کرد.

تبدیل اعداد باینری به هگزادسیمال

فرض کنید می­ خواهیم عدد 101110000 در مبنای دو را به معادل آن در مبنای هگزادسیمال تبدیل کنیم. برای این منظور ارقام را از سمت راست چهار تا چهار تا جدا می‌کنیم و به جای هر چهارتایی رقم معنی‌دار آن در مبنای شانزده را می­‌گذاریم. برای این منظور از جدول زیر استفاده می­‌کنیم:

در نتیجه داریم:

توجه کنید از آنجایی که  عدد 101110000  مضربی از چهار نمی‌­باشد، در انتهای سمت چپ سه عدد صفر اضافه کرده ایم.